Trả lời trực tiếp: Bậc tự do của cơ cấu là số thông số độc lập cần đặt để mọi khâu có vị trí xác định. Nó bằng tổng bậc tự do của các khâu rời trừ số bậc mà các khớp lấy đi. Thiếu ràng buộc thì cơ cấu lỏng, thừa ràng buộc thì kẹt hoặc phải biến dạng mới lắp được.
Nội dung thuộc chuyên trang Thiết kế & chế tạo máy của cokhi.net, cụm Nguyên lý máy — ở góc động học. Bài xét cơ cấu phẳng; phép đếm cho cơ cấu không gian theo cùng lối suy luận nhưng số bậc của khâu và của khớp khác đi.
Bậc tự do đếm theo nguyên tắc nào?
Phép đếm dựng lại từ đầu, và chỉ cần ba nhận xét.
Một khâu rời trong mặt phẳng có ba bậc tự do: nó dịch được theo hai phương và quay được quanh chính nó. Nếu một cơ cấu có tất cả các khâu, kể cả giá, thì phần khâu chuyển động được là tất cả trừ giá — vì giá đứng yên nên không đóng góp bậc nào. Đó là số hạng thứ nhất: ba nhân với số khâu trừ một.
Mỗi khớp lấy đi một phần số bậc ấy, và lấy bao nhiêu thì phụ thuộc kiểu tiếp xúc. Khớp bản lề chỉ cho phép quay tương đối, khớp trượt chỉ cho phép trượt tương đối — cả hai đều để lại một bậc và lấy đi hai. Còn khớp tiếp xúc theo đường hoặc theo điểm — cam tì lên cần, hai bánh răng ăn khớp, con lăn tì lên mặt — cho phép vừa lăn vừa trượt, nên nó để lại hai bậc và chỉ lấy đi một.
Ghép lại thì bậc tự do của cơ cấu bằng ba lần số khâu chuyển động, trừ hai lần số khớp loại thứ nhất, trừ một lần số khớp loại thứ hai. Điểm đáng nhớ không phải công thức mà là ý nghĩa của kết quả: nó cho biết cần bao nhiêu nguồn dẫn động để cơ cấu có vị trí xác định.
Vì sao cơ cấu bốn khâu bản lề có đúng một bậc tự do?
Thử ngay trên cơ cấu quen nhất. Bốn khâu, trong đó một khâu là giá, nên phần chuyển động được là ba khâu và đóng góp chín bậc. Bốn khớp bản lề, mỗi khớp lấy hai, tổng cộng lấy đi tám. Còn lại đúng một bậc tự do.
Con số ấy giải thích cách dùng cơ cấu này trong thực tế: chỉ cần đặt một thông số — góc của khâu dẫn — là vị trí của toàn bộ các khâu còn lại đã xác định. Đặc tính đó và điều kiện để khâu dẫn quay được trọn vòng chính là nội dung của bài cơ cấu bốn khâu bản lề và tiêu chuẩn Grashof.
Phép đếm cũng cho thấy vì sao tay quay – con trượt là họ hàng gần: nó vẫn bốn khâu, vẫn bốn khớp, chỉ thay một bản lề bằng một khớp trượt — mà khớp trượt cũng lấy đi hai bậc, nên kết quả không đổi. Các biến thể phẳng cơ bản được đặt cạnh nhau ở bài cơ cấu cam và các cơ cấu phẳng cơ bản.
Với cơ cấu cam – cần thì chỉ có ba khâu, nên phần chuyển động đóng góp sáu bậc; hai khớp thấp lấy đi bốn, và khớp cao giữa biên dạng cam với cần lấy thêm một. Lại còn đúng một bậc — nghĩa là chuyển động của cần hoàn toàn do góc quay của cam quyết định, đúng như giả thiết nền của bài quy luật chuyển động của cần theo biên dạng cam.
Thừa ràng buộc và thiếu ràng buộc gây ra chuyện gì?
| Kết quả đếm | Nghĩa là gì | Hậu quả thực tế |
|---|---|---|
| Bằng 0 | Không còn khả năng chuyển động — đây là một kết cấu, không phải cơ cấu | Đúng cho khung, giàn, gối đỡ; sai nếu ta đang định làm một cơ cấu |
| Nhỏ hơn 0 | Thừa ràng buộc | Chỉ lắp được nếu chi tiết biến dạng, hoặc nhờ khe hở và sai số chế tạo bù vào; ứng suất lắp ráp tồn tại ngay khi máy chưa chạy |
| Bằng 1 | Một nguồn dẫn động là đủ | Trường hợp phổ biến nhất của cơ cấu máy |
| Lớn hơn 1 | Cần thêm nguồn dẫn động | Chỉ có một nguồn thì vị trí các khâu không xác định — cơ cấu chạy theo tải chứ không theo lệnh |
Bảng nêu quan hệ kết quả đếm – ý nghĩa – hậu quả; bảng không nêu trị số khe hở hay ứng suất lắp ráp, vì chúng phụ thuộc kích thước và dung sai của từng cụm cụ thể.
Hàng thứ hai là hàng đắt giá nhất trong thực hành. Thừa ràng buộc là lý do một cụm lắp được trên bản vẽ mà không lắp được ngoài xưởng, hoặc lắp được nhưng nặng tay và mau mòn. Cùng nguyên tắc ấy chi phối việc định vị chi tiết trên đồ gá: gá phải khóa vừa đủ số bậc, khóa thừa thì chi tiết bị ép cong và vị trí thực khác vị trí thiết kế — nội dung nền của bài đồ gá gia công CNC. Đó cũng là lý do một cặp chốt định vị dùng một chốt trụ và một chốt côn thay vì hai chốt trụ, như phân tích ở bài chốt định vị trụ và côn: chốt thứ hai chỉ cần khóa nốt chuyển động quay, khóa thêm nữa là thừa.
Vì sao có cơ cấu đếm ra sai mà vẫn chạy được?
Vì phép đếm chỉ nhìn thấy số khâu và số khớp, nó không nhìn thấy điều kiện hình học đặc biệt.
Ví dụ kinh điển là cơ cấu hình bình hành khi thêm một khâu song song thứ ba: đếm theo công thức thì ràng buộc đã thừa và cơ cấu đáng lẽ kẹt, nhưng thực tế nó vẫn quay trơn — bởi vì khâu thứ ba song song và bằng đúng hai khâu kia, nên ràng buộc nó mang lại trùng với ràng buộc đã có chứ không thêm ràng buộc mới.
Kết luận thực dụng nằm ở phần sau của ví dụ này: những cơ cấu chạy được nhờ điều kiện hình học đặc biệt thì rất nhạy với sai số chế tạo. Điều kiện càng chặt thì dung sai càng ngặt, và khi sai số vượt quá mức bù được thì cơ cấu chuyển ngay từ trạng thái chạy trơn sang trạng thái kẹt. Vì vậy phép đếm nên được dùng như một bước sàng — nó cảnh báo chỗ cần xem kỹ — chứ không phải một chứng minh. Khi cần chắc chắn thì đối chiếu bằng dựng hình hoặc mô phỏng, cách làm trình bày ở bài mô phỏng động học cơ cấu và đối chiếu tính tay.
Bậc tự do của cơ cấu khác bậc tự do trong bài toán dao động ở chỗ nào?
Cùng một cụm từ nhưng hai đối tượng khác nhau, và lẫn hai thứ này là lỗi hay gặp.
Trong động học cơ cấu, bậc tự do đếm số thông số vị trí độc lập của một hệ nhiều khâu nối bằng khớp — các khâu được coi là cứng tuyệt đối, và câu hỏi là "cần đặt mấy thông số". Trong bài toán dao động, bậc tự do đếm số tọa độ độc lập cần để mô tả chuyển động dao động của một hệ có khối lượng và độ đàn hồi — ở đó chính tính đàn hồi mới là thứ tạo ra bậc tự do, và câu hỏi là "hệ có mấy tần số riêng". Mô hình một bậc tự do theo nghĩa thứ hai được trình bày ở bài dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do.
Với tay máy nhiều khớp thì lại dùng nghĩa thứ nhất, và số bậc tự do quyết định luôn tập vị trí và hướng mà đầu công tác với tới được — quan hệ ấy là nền của bài nguyên lý robot công nghiệp. Cơ cấu có bậc tự do bằng một nhưng chuyển động ngắt quãng theo chu kỳ thì thuộc một họ riêng, xem bài cơ cấu định vị gián đoạn Geneva và bánh cóc.
Câu hỏi thường gặp
Thêm một khâu vào cơ cấu thì bậc tự do tăng hay giảm? Tùy vào việc khâu ấy mang theo mấy khớp. Một khâu thêm vào đóng góp ba bậc, nhưng nếu nó nối vào cơ cấu bằng hai khớp bản lề thì hai khớp đó lấy đi bốn — kết quả là bậc tự do giảm đi một. Đây chính là cách người ta thêm ràng buộc, và cũng là cách vô tình làm cơ cấu kẹt.
Vì sao khớp bản lề và khớp trượt lấy đi số bậc bằng nhau? Vì cả hai đều chỉ cho phép một chuyển động tương đối giữa hai khâu: một bên là quay quanh một tâm, một bên là trượt dọc một phương. Hình dạng khác nhau nhưng số bậc còn lại thì giống nhau, nên trong phép đếm chúng tương đương.
Cơ cấu có bậc tự do bằng hai thì dùng làm gì? Dùng khi thực sự cần hai thông số điều khiển độc lập — tay máy hai trục trong mặt phẳng là ví dụ. Điều cần tránh là vô tình rơi vào trường hợp này: khi chỉ có một nguồn dẫn động mà cơ cấu có hai bậc, các khâu sẽ tự tìm vị trí theo tải và ma sát, nên đầu ra không lặp lại được giữa các chu kỳ.